写像と冪(べき)集合

201 ：1/14：2005/10/30(日) 19:20:35 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　今日のテーマはこれです。
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　 ,＿＿　　　　　写像と冪集合、揚げ物の選び方について
　 iii■∧　　/
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ,,)
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　　　 |　最初の２つはともかく、３つ目は…
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　冪は「べき」と読んで、累乗の意味に使う。「冪乗」とか。
　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
202 ：2/14：2005/10/30(日) 19:21:56 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　集合Fの要素を今夜のおかずとし、
|　集合Aの要素がこれをそれぞれ選択するとします。
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　　　┌　集合A　―――――┐┌　集合F　―――┐
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　　　　　　　　　|
　　　｜　（　´∀｀）　　∧∧　　｜｜　　コロッケ　　　|
　　　｜　　　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　｜｜　　　　　　　　　　｜
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　ロースカツ　｜
　　　｜　（　・∀・）　　∧∧　　｜｜　　　　　　　　　　｜
　　　｜　　　　　　　　(*ﾟーﾟ)　｜└―――――――┘
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　　|
　　　｜　<丶｀∀´>　　　　　　　|
　　　└―――――――――┘
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　し' Ｊ　│　 │ 　 ||　　　━┳┛　 ||　　　━┳┛
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　ロースカツ選んだらボッシュートとか？
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　この教授ならやりかない。
　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
203 ：3/14：2005/10/30(日) 19:23:00 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　例えば、こんな風に各自選択したとしましょう。
|　ここでコロッケ派だけを残せば、新たな集合を構成します。
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　　コロッケ：　（　´∀｀） (,,ﾟДﾟ) (*ﾟーﾟ)
　　ロースカツ：　（　・∀・） <丶｀∀´>

　　　　　　　　　　　　　　↓

　　　┌　集合C　――――┐
　　　｜　　　 ∧＿∧　　　｜　　　　　 ∧＿∧
　　　｜　　　（　´∀｀）　　｜　　　（・∀・；）
　　　｜　　　　　　　　　｜
　　　｜　 ∧∧　　　∧∧　｜　　　　　 ∧＿∧
　　　｜　(,,ﾟДﾟ)　　 (*ﾟーﾟ)　｜　　　 <｀Д´ #>
　　　└――――――――┘
　　これを集合Aの部分集合と呼ぶ。
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,)
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　やっぱりボッシュートなのか…
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　つか、コロッケ派って…
　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
204 ：4/14：2005/10/30(日) 19:24:12 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　ではここで質問。
|　集合Aの部分集合は何通り作れるでしょうか？
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　　 ∧＿∧　∧＿∧　∧∧　∧∧　 ∧＿∧
　　（　´∀｀）（　・∀・）(,,ﾟДﾟ) (*ﾟーﾟ) <丶｀∀´>　→　？？
　 ,＿＿
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (。。；)　　　　　 (ﾟДﾟ；)
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　ええと、
　　　 |　コロッケ派が０人、１人、２人、３人、４人、５人の場合に分けて…
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　うーん、意外と面倒くさい…
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205 ：5/14：2005/10/30(日) 19:24:45 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　このように考えれば簡単です。
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　　（　´∀｀）　：　コロッケ or ロースカツ
　　（　・∀・）　：　コロッケ or ロースカツ
　　　(,,ﾟДﾟ)　：　コロッケ or ロースカツ
　　　(*ﾟーﾟ)　：　コロッケ or ロースカツ
　　<丶｀∀´>　：　コロッケ or ロースカツ

　各人「コロッケかロースカツか」で2通りの選択肢がある。
　５人いるのだから２＾５＝２×２×２×２×２＝32通り。
　 ,＿＿
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ,,)
　　 |　　|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　あぁぁぁ、なるほど…
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　一応、人数別に分けて考えて
　　　　　　　　 |　5Ｃ0＋5Ｃ1＋5Ｃ2＋5Ｃ3＋5Ｃ4＋5Ｃ5＝32 としても答えは出るな。
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206 ：6/14：2005/10/30(日) 19:26:17 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　では、次の集合F'ではどうでしょうか？
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　　　┌　集合A　―――――┐┌　集合F' ―――┐
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　　　　　　　|
　　　｜　（　´∀｀）　　∧∧　　｜｜　　メンチカツ　　|
　　　｜　　　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　｜｜　　　　　　　　　｜
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　味噌かつ　　｜
　　　｜　（　・∀・）　　∧∧　　｜｜　　　　　　　　｜
　　　｜　　　　　　　　(*ﾟーﾟ)　｜｜　　ハムカツ　　｜
　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　　| ｜　　　　　　　　　　|
　　　｜　<丶｀∀´>　　　　　　　| └―――――――┘
　　　└―――――――――┘
　　　集合F'の要素を集合Aの要素がそれぞれ選ぶとする。
　　　選び方のパターンは何通り？
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,)
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　　　 |　選択肢が３つに増えたのか。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　一つ分かれば簡単。３＾５＝３×３×３×３×３＝243だ。
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207 ：7/14：2005/10/30(日) 19:27:39 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　後ギコ君正解。
|　このように、ある集合の各要素から他の集合の一つの要素に
|　それぞれ対応させたものを「写像」と呼びます。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
　　（　´∀｀）　―→　味噌かつ
　　（　・∀・）　―→　メンチカツ
　　　(,,ﾟДﾟ)　 ―→　ハムカツ
　　　(*ﾟーﾟ)　 ―→　ハムカツ
　　<丶｀∀´> ―→　メンチカツ

　　各人３通りずつ選択肢があるので、３＾５＝243通り。
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　　 |　集合を別の集合に写すってことか？
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　集合の間の「対応関係」が写像なんだ。
　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
208 ：8/14：2005/10/30(日) 19:28:24 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　写像の中でも、次のようなものを単射、全射と呼びます。
＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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　　単射：　誰も他人と同じ揚げ物を選ばない。
　　　　　（　´∀｀）　―→　コロッケ
　　　　　（　・∀・）　―→　メンチカツ
　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　 ―→　ハムカツ
　　　　　　　　　　　　　　　ロースカツ

　　全射：　全ての揚げ物が必ず選ばれる。
　　　　　（　´∀｀）　　―→　クリームコロッケ
　　　　　（　・∀・）　　―→　味噌かつ
　　　　(,,ﾟДﾟ)(*ﾟーﾟ)　―→　エビカツ
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　普通の写像だと、選ばれないものがあってもいいし、
　　　 |　選ぶものが重複してもいいわけだ。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　単射のとき集合の大きさはA≦Bで、全射のときはA≧Bだな。
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209 ：9/14：2005/10/30(日) 19:29:18 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　さらに、１対１の対応になる写像を全単射と呼びます。
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　　　　　(,, ﾟДﾟ)　　―→　コロッケ
　　　　　ミ,,ﾟДﾟ彡　―→　メンチカツ
　　　　　(* ﾟーﾟ)　　―→　ロースカツ
　　　　　(* ﾟ∀ﾟ)　　―→　味噌かつ
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 |　全射で単射だから全単射か。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　集合の大きさの時に使ったやつだな。
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210 ：10/14：2005/10/30(日) 19:30:40 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　さて、以上のことから、写像全体の集合を考えてみましょう。
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　　2つの集合S、Tの間に作れる写像ｆ：S→T の個数は
　　（Tの要素の個数）＾（Sの要素の個数）　で表せる。

　　そこで、SからTへの写像の全体を T＾S と書く。
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　　 |　そのまんまの記号だな。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　ちなみに「＾S」は本当は前の文字の肩に乗せるとこだが、
　　　　　　　　 |　作者が面倒なので簡単に書いてるらしい。
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211 ：11/14：2005/10/30(日) 19:32:08 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　最初にやったような「部分集合の全体」を「冪集合」と呼びます。
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　　ある集合Sの部分集合を作ることは、
　　集合Sから要素2個の集合への写像を作ることと意味的に同じ。

　　このことから、集合Sの部分集合の全体（冪集合）を２＾S で表す。
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　　　 |　２のS乗って形で書けるから冪集合なんだな。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
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　　　　　　　　 |　２ってのは集合じゃなくて数字だけど、細かいことは言わない。
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212 ：12/14：2005/10/30(日) 19:33:17 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　これまでにも、集合の大きさ（濃度）や直積の概念は、無限集合においても
|　通用しました。写像でも同様です。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
　　例えば、
　　「実数全体」と「自然数全体の冪集合」は対等、すなわち　
　　２＾可算無限＝連続体濃度　であることが知られている。
　 ,＿＿
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　　　 |　じゃあ無限大の無限大乗なんてのも出来るわけだ。
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　　　　　　　　 |　可算無限は自然数全体の集合の大きさ、
　　　　　　　　 |　連続体濃度は実数全体の集合の大きさ。
　　　　　　　　 |　詳しくは前スレの講義を参照してくれ。
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213 ：13/14：2005/10/30(日) 19:35:04 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　写像という概念を使うと、数学における多くの概念が
|　集合と写像で出来ていることが分かります。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　数列は「自然数全体」から「実数全体」への写像。
　　関数も「実数全体」から「実数全体」への写像。
　　空間ベクトルも「要素3個の集合」から「実数全体」への写像だし、
　　微分や積分だって「滑らかな関数全体」から「関数全体」への写像だと言える。
　 ,＿＿
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　　　 |　何でもかんでも写像になっちゃう。
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　　　　　　　　 |　そんなわけで、現代数学は集合と写像を基礎にして成立することになったんだ。
　　　　　　　　 |　ところが集合論はそのままだと矛盾を含んでいることが分かって、
　　　　　　　　 |　数学は大きな問題にぶち当たることになるんだが、それはまた別の話。
　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
214 ：14/14：2005/10/30(日) 19:35:36 ID:miyDVLKF0: ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|　では、今日の課題です。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

　　ロースカツ派を学内からボッシュートし、コロッケ派のみによる集合を作れ。
　 ,＿＿
　 iii■∧　　/
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　　(|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ；)
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　　　 |　やっぱりそれかよ…　てか他の揚げ物派はどこに。
　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　 |　またどっかからハンマーが飛んできそうだな…
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215 ：（　´∀｀）さん ：2005/10/30(日) 19:37:49 ID:miyDVLKF0: 最後だけ番号ミスでした orz
これで終了です。
216 ：（　´∀｀）さん ：2005/10/30(日) 20:06:55 ID:bF57xkx50: お三方、講義乙。
競馬の人、今後が楽しみです
野球の人、なんだか落ち着きが漂って来ましたね。この調子でgoです
数学の人、難しい話がだいぶ身近に。AAって良いですね。
皆さん良い講義でしたGJ!
ただ、数学の人は密度が濃すぎて途中でわからなくなって来たっす。
あとで質問します。
＼
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　　　∧∧
　　 (ﾟДﾟ,,)
　　φ　　つ
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	４５時限目
	201 ：1/14：2005/10/30(日) 19:20:35 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　今日のテーマはこれです。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　 ,＿＿　　　　　写像と冪集合、揚げ物の選び方について　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　最初の２つはともかく、３つ目は… 　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　冪は「べき」と読んで、累乗の意味に使う。「冪乗」とか。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 202 ：2/14：2005/10/30(日) 19:21:56 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　集合Fの要素を今夜のおかずとし、 \|　集合Aの要素がこれをそれぞれ選択するとします。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　　┌　集合A　―――――┐┌　集合F　―――┐ 　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　　　　　　　　　\| 　　　｜　（　´∀｀）　　∧∧　　｜｜　　コロッケ　　　\| 　　　｜　　　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　｜｜　　　　　　　　　　｜　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　ロースカツ　｜　　　｜　（　・∀・）　　∧∧　　｜｜　　　　　　　　　　｜　　　｜　　　　　　　　(ﾟーﾟ)　｜└―――――――┘ 　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　　\| 　　　｜　<丶｀∀´>　　　　　　　\| 　　　└―――――――――┘ 　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧━━━━∧∧━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　ロースカツ選んだらボッシュートとか？　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　この教授ならやりかない。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 203 ：3/14：2005/10/30(日) 19:23:00 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　例えば、こんな風に各自選択したとしましょう。 \|　ここでコロッケ派だけを残せば、新たな集合を構成します。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　コロッケ：　（　´∀｀） (,,ﾟДﾟ) (ﾟーﾟ) 　　ロースカツ：　（　・∀・） <丶｀∀´> 　　　　　　　　　　　　　　↓ 　　　┌　集合C　――――┐ 　　　｜　　　 ∧＿∧　　　｜　　　　　 ∧＿∧ 　　　｜　　　（　´∀｀）　　｜　　　（・∀・；）　　　｜　　　　　　　　　｜　　　｜　 ∧∧　　　∧∧　｜　　　　　 ∧＿∧ 　　　｜　(,,ﾟДﾟ)　　 (ﾟーﾟ)　｜　　　 <｀Д´ #> 　　　└――――――――┘ 　　これを集合Aの部分集合と呼ぶ。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　やっぱりボッシュートなのか… 　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　つか、コロッケ派って… 　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 204 ：4/14：2005/10/30(日) 19:24:12 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　ではここで質問。 \|　集合Aの部分集合は何通り作れるでしょうか？＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　 ∧＿∧　∧＿∧　∧∧　∧∧　 ∧＿∧ 　　（　´∀｀）（　・∀・）(,,ﾟДﾟ) (ﾟーﾟ) <丶｀∀´>　→　？？　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (。。；)　　　　　 (ﾟДﾟ；) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　ええと、　　　 \|　コロッケ派が０人、１人、２人、３人、４人、５人の場合に分けて… 　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　うーん、意外と面倒くさい… 　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 205 ：5/14：2005/10/30(日) 19:24:45 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　このように考えれば簡単です。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　（　´∀｀）　：　コロッケ or ロースカツ　　（　・∀・）　：　コロッケ or ロースカツ　　　(,,ﾟДﾟ)　：　コロッケ or ロースカツ　　　(ﾟーﾟ)　：　コロッケ or ロースカツ　　<丶｀∀´>　：　コロッケ or ロースカツ　各人「コロッケかロースカツか」で2通りの選択肢がある。　５人いるのだから２＾５＝２×２×２×２×２＝32通り。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　あぁぁぁ、なるほど… 　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　一応、人数別に分けて考えて　　　　　　　　 \|　5Ｃ0＋5Ｃ1＋5Ｃ2＋5Ｃ3＋5Ｃ4＋5Ｃ5＝32 としても答えは出るな。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 206 ：6/14：2005/10/30(日) 19:26:17 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　では、次の集合F'ではどうでしょうか？＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　　┌　集合A　―――――┐┌　集合F' ―――┐ 　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　　　　　　　\| 　　　｜　（　´∀｀）　　∧∧　　｜｜　　メンチカツ　　\| 　　　｜　　　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　｜｜　　　　　　　　　｜　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　｜｜　　味噌かつ　　｜　　　｜　（　・∀・）　　∧∧　　｜｜　　　　　　　　｜　　　｜　　　　　　　　(ﾟーﾟ)　｜｜　　ハムカツ　　｜　　　｜　 ∧＿∧　　　　　　　　\| ｜　　　　　　　　　　\| 　　　｜　<丶｀∀´>　　　　　　　\| └―――――――┘ 　　　└―――――――――┘ 　　　集合F'の要素を集合Aの要素がそれぞれ選ぶとする。　　　選び方のパターンは何通り？　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　選択肢が３つに増えたのか。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　一つ分かれば簡単。３＾５＝３×３×３×３×３＝243だ。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 207 ：7/14：2005/10/30(日) 19:27:39 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　後ギコ君正解。 \|　このように、ある集合の各要素から他の集合の一つの要素に \|　それぞれ対応させたものを「写像」と呼びます。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　（　´∀｀）　―→　味噌かつ　　（　・∀・）　―→　メンチカツ　　　(,,ﾟДﾟ)　 ―→　ハムカツ　　　(ﾟーﾟ)　 ―→　ハムカツ　　<丶｀∀´> ―→　メンチカツ　　各人３通りずつ選択肢があるので、３＾５＝243通り。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　集合を別の集合に写すってことか？　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　集合の間の「対応関係」が写像なんだ。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 208 ：8/14：2005/10/30(日) 19:28:24 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　写像の中でも、次のようなものを単射、全射と呼びます。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　単射：　誰も他人と同じ揚げ物を選ばない。　　　　　（　´∀｀）　―→　コロッケ　　　　　（　・∀・）　―→　メンチカツ　　　　　　(,,ﾟДﾟ)　 ―→　ハムカツ　　　　　　　　　　　　　　　ロースカツ　　全射：　全ての揚げ物が必ず選ばれる。　　　　　（　´∀｀）　　―→　クリームコロッケ　　　　　（　・∀・）　　―→　味噌かつ　　　　(,,ﾟДﾟ)(ﾟーﾟ)　―→　エビカツ　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　普通の写像だと、選ばれないものがあってもいいし、　　　 \|　選ぶものが重複してもいいわけだ。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　単射のとき集合の大きさはA≦Bで、全射のときはA≧Bだな。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 209 ：9/14：2005/10/30(日) 19:29:18 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　さらに、１対１の対応になる写像を全単射と呼びます。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　　　　(,, ﾟДﾟ)　　―→　コロッケ　　　　　ミ,,ﾟДﾟ彡　―→　メンチカツ　　　　　(* ﾟーﾟ)　　―→　ロースカツ　　　　　(* ﾟ∀ﾟ)　　―→　味噌かつ　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　全射で単射だから全単射か。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　集合の大きさの時に使ったやつだな。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 210 ：10/14：2005/10/30(日) 19:30:40 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　さて、以上のことから、写像全体の集合を考えてみましょう。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　2つの集合S、Tの間に作れる写像ｆ：S→T の個数は　　（Tの要素の個数）＾（Sの要素の個数）　で表せる。　　そこで、SからTへの写像の全体を T＾S と書く。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　そのまんまの記号だな。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　ちなみに「＾S」は本当は前の文字の肩に乗せるとこだが、　　　　　　　　 \|　作者が面倒なので簡単に書いてるらしい。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 211 ：11/14：2005/10/30(日) 19:32:08 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　最初にやったような「部分集合の全体」を「冪集合」と呼びます。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　ある集合Sの部分集合を作ることは、　　集合Sから要素2個の集合への写像を作ることと意味的に同じ。　　このことから、集合Sの部分集合の全体（冪集合）を２＾S で表す。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　２のS乗って形で書けるから冪集合なんだな。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　２ってのは集合じゃなくて数字だけど、細かいことは言わない。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 212 ：12/14：2005/10/30(日) 19:33:17 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　これまでにも、集合の大きさ（濃度）や直積の概念は、無限集合においても \|　通用しました。写像でも同様です。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　例えば、　　「実数全体」と「自然数全体の冪集合」は対等、すなわち　　　２＾可算無限＝連続体濃度　であることが知られている。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　じゃあ無限大の無限大乗なんてのも出来るわけだ。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　可算無限は自然数全体の集合の大きさ、　　　　　　　　 \|　連続体濃度は実数全体の集合の大きさ。　　　　　　　　 \|　詳しくは前スレの講義を参照してくれ。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 213 ：13/14：2005/10/30(日) 19:35:04 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　写像という概念を使うと、数学における多くの概念が \|　集合と写像で出来ていることが分かります。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　数列は「自然数全体」から「実数全体」への写像。　　関数も「実数全体」から「実数全体」への写像。　　空間ベクトルも「要素3個の集合」から「実数全体」への写像だし、　　微分や積分だって「滑らかな関数全体」から「関数全体」への写像だと言える。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ,,)　　　　　 (ﾟДﾟ,,) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　何でもかんでも写像になっちゃう。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　そんなわけで、現代数学は集合と写像を基礎にして成立することになったんだ。　　　　　　　　 \|　ところが集合論はそのままだと矛盾を含んでいることが分かって、　　　　　　　　 \|　数学は大きな問題にぶち当たることになるんだが、それはまた別の話。　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 214 ：14/14：2005/10/30(日) 19:35:36 ID:miyDVLKF0 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ \|　では、今日の課題です。＼＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　ロースカツ派を学内からボッシュートし、コロッケ派のみによる集合を作れ。　 ,＿＿　 iii■∧　　/ ━ (,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━━━━━━ 　　(\|　　つ　∇ 　　　　 (ﾟДﾟ；)　　　　　 (ﾟДﾟ；) 　　 \|　　\|　┌─┐　　　 /⊂　　ヽ　　　　/⊂　　ヽ　～\|　　\|　｜□｜　　√￣ (_＿_ﾉ～　√￣ (_＿_ﾉ～　　し' Ｊ　│　 │ 　 \|\|　　　━┳┛　 \|\|　　　━┳┛ 　￣￣￣￣!　　 \|＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　 \|　やっぱりそれかよ…　てか他の揚げ物派はどこに。　　　　＼＿＿＿_　　　　　　　　　　　　　 ∧ 　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　 \|　またどっかからハンマーが飛んできそうだな… 　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 215 ：（　´∀｀）さん：2005/10/30(日) 19:37:49 ID:miyDVLKF0 最後だけ番号ミスでした orz これで終了です。 216 ：（　´∀｀）さん：2005/10/30(日) 20:06:55 ID:bF57xkx50 お三方、講義乙。競馬の人、今後が楽しみです野球の人、なんだか落ち着きが漂って来ましたね。この調子でgoです数学の人、難しい話がだいぶ身近に。AAって良いですね。皆さん良い講義でしたGJ! ただ、数学の人は密度が濃すぎて途中でわからなくなって来たっす。あとで質問します。＼　￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　∧∧ 　　 (ﾟДﾟ,,) 　　φ　　つ √￣ (_＿_ﾉ～ \|\|　　　━┳┛

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