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- 327 ：1/12：2005/10/19(水) 17:15:04
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 今回のテーマはこれです。
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,＿＿ 「無限」の大きさ
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(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| 無限って「どんな数より限りなく大きい」ってことじゃないの？
＼＿＿＿_ ∧
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| 大きさなんてあるのか？
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 328 ：2/12：2005/10/19(水) 17:16:16
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| まずは集合について簡単に説明しましょう。
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集合とは、「何が含まれているかがはっきりしている要素の集まり」のこと。
例：「全ての整数の集まり」
「全てのアルファベットの集まり」
「国連の全加盟国」 など
,＿＿
iii■∧ /
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(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| 含まれる要素はなんでもいいわけだ。
＼＿＿＿_ ∧
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| ただし、含まれるものがはっきりしない場合は集合とは呼ばない。
| 「2chの全ての良スレの集まり」なんてのは集合じゃない。
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- 329 ：3/12：2005/10/19(水) 17:17:49
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| さて、次のような集合を考えてみましょう。
＼＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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┌ 集合A ――――――┐┌ 集合B ――――┐
｜ ∧＿∧ ∧＿∧ ｜｜. ∧∧ ∧∧ ｜
｜ （ ´∀｀） <丶｀∀´> ｜｜ (ﾟДﾟ,,) (ﾟωﾟ,,) ｜
｜ ｜｜ ｜
｜ ∧＿∧ ∩＿∩ ｜｜. ∧∧ ∧∧ |
｜ （ ・∀・） （ ´ー｀） ｜｜ (ﾟーﾟ*) (ﾟ∀ﾟ*) ｜
└――――――――――┘└――――――――┘
,＿＿
iii■∧ /
━.(,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━
(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
〜| | ｜□｜ √￣ (_＿_ﾉ〜 √￣ (_＿_ﾉ〜
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／￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| モナー体型とギコ体型か？
＼＿＿＿_ ∧
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| どっちも要素は４つだな。
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- 330 ：4/12：2005/10/19(水) 17:18:56
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| ２つの集合の間では、次のような組み合わせ（１対１の対応）を作ることができます。
| これが作れる場合、２つの集合は「対等である」と言います。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
集合A 集合B
∧＿∧ ∧∧
（ ´∀｀） ←―→ (ﾟДﾟ,,)
∧＿∧ ∧∧
（ ・∀・） ←―→ (ﾟωﾟ,,)
∧＿∧ ∧∧
<丶｀∀´> ←―→ (ﾟ∀ﾟ*)
∩＿∩ ∧∧
（ ´ー｀） ←―→ (ﾟーﾟ*)
,＿＿
iii■∧ /
━.(,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━
(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
〜| | ｜□｜ √￣ (_＿_ﾉ〜 √￣ (_＿_ﾉ〜
し' Ｊ │ │ || ━┳┛ || ━┳┛
￣￣￣￣! |＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
／￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 要するに、「集合の個数が一緒」＝「対等」ってことか。
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| どっちかの集合の方が大きい時は対等じゃない。
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 331 ：5/12：2005/10/19(水) 17:19:32
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| では、次の集合はどちらが大きいでしょうか？
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,＿＿ 「全ての自然数」と「全ての整数」
iii■Λ /
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(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| 自然数ってのは、0より大きい整数のことだから…
＼＿＿＿_ ∧
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| 自然数は全て整数に含まれるから、
| 整数の集合の方が大きいんじゃないの？
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 332 ：6/12：2005/10/19(水) 17:20:36
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 一見そう見えますが、実は違います。
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自然数 整数
１ ←―→ ０
２ ←―→ １
３ ←―→ −１
４ ←―→ ２
５ ←―→ −２
６ ←―→ ３
（以下続く）
というように対応させれば１対１の対応になる。
よって自然数と整数の集合は対等、つまり大きさは同じ。
,＿＿
iii■∧ /
━.(,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━
(| つ ∇ (ﾟДﾟ；) (ﾟДﾟ；)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| えええ！？ そんなのアリか？
＼＿＿＿_ ∧
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| とにかく１対１の対応さえ作れれば対等なのか…
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 333 ：7/12：2005/10/19(水) 17:21:27
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| では、これだとどうでしょうか？
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,＿＿ 「全ての自然数」と「全ての有理数」
iii■∧ /
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(| つ ∇ (ﾟДﾟ,,) (ﾟДﾟ,,)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| これはさすがに対等じゃないよな。
＼＿＿＿_ ∧
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| 整数と同じ考え方でいくと、全部の有理数に
| １から順に番号付けられれば対等ってことだけど…
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- 334 ：8/12：2005/10/19(水) 17:22:33
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| こんな風に並べれば、全ての有理数が一列に並びます。
| 従って有理数の集合も、自然数や整数と対等です。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
自然数 正の有理数
１ ←―→ ０／１ （＝０）
２ ←―→ １／１ （＝１）
３ ←―→ １／２
４ ←―→ ２／１ （＝２）
５ ←―→ １／３
６ ←―→ ３／１ （＝３）
７ ←―→ １／４
８ ←―→ ２／３
９ ←―→ ３／２
10 ←―→ ４／１ （＝４）
（以下続く）
／は分数を示す。
負の有理数は負の整数と対応できるので、全ての有理数と整数とが対応する。
,＿＿
iii■∧ /
━.(,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━━━━━━━━━━
(| つ ∇ (ﾟДﾟ；) (ﾟДﾟ；)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
〜| | ｜□｜ √￣ (_＿_ﾉ〜 √￣ (_＿_ﾉ〜
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￣￣￣￣! |＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
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| 分母＋分子が小さい順から並べたわけか。
＼＿＿＿_ ∧
／￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣
| なんか騙されてるような…
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- 336 ：9/12：2005/10/19(水) 17:23:45
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| こうなってくると、次にこれが気になりますよね？
＼＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
,＿＿ 「全ての実数の集合」はどうなの？
iii■∧ /
━.(,, ﾟДﾟ) /━━━━━━∧∧ ━━━━∧∧━━━━━━
(| つ ∇ (ﾟДﾟ；) (ﾟДﾟ；)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
〜| | ｜□｜ √￣ (_＿_ﾉ〜 √￣ (_＿_ﾉ〜
し' Ｊ │ │ || ━┳┛ || ━┳┛
￣￣￣￣! |＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
／￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 有理数までそうなら、実数もやっぱり一緒？
＼＿＿＿_ ∧
／￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣
| ここまでくるとそんな気がするよな。
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 337 ：10/12：2005/10/19(水) 17:25:08
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 残念。実数全体の集合は自然数・整数・有理数と対等ではありません。
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面倒臭いので、０から１までの範囲の実数で考える。
これらの実数が自然数と１対１に対応するならば、小数で表して
自然数 ０から１までの実数
１ ←―→ ０．[A1] [A2] [A3] [A4] [A5] [A6]…
２ ←―→ ０．[B1] [B2] [B3] [B4] [B5] [B6]…
３ ←―→ ０．[C1] [C2] [C3] [C4] [C5] [C6]…
４ ←―→ ０．[D1] [D2] [D3] [D4] [D5] [D6]…
５ ←―→ ０．[E1] [E2] [E3] [E4] [E5] [E6]…
（以下続く）
のように０から１までの実数を並べ尽くせるはずである。
ところが、ある実数 ０．[X1] [X2] [X3] [X4] [X5] [X6]… が
[X1]≠[A1]、[X2]≠[B2]、[X3]≠[C3]… を満たすならば
この実数は上記の列のどこにも含まれない。よって矛盾。
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| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| 背理法か… 昔さんざん苦労したなぁ。
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| 対等じゃないってことは、実数の集合は有理数や整数より大きいってこと？
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- 338 ：11/12：2005/10/19(水) 17:26:02
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| まとめるとこうなります。
| 自然数も整数も有理数も実数も「無限個」存在しますが、
| その「無限」の大きさに違いがあるわけですね。
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━━━∨━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
自然数＝整数＝有理数＜＜＜（越えられない壁）＜＜＜実数
自然数の集合の大きさを「可算無限（濃度）」
実数の集合の大きさを「連続体濃度」という。
「連続体濃度」よりさらに大きな「無限」も知られている。
（ ※ 正しくは、集合の対等は“＝”ではなく“〜”で表す ）
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| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
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| 中学で習ったときは、有理数と実数の違いなんてあんまり意識してなかったけど…
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| 集合の大きさでいうと全然違うわけだ。
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- 339 ：12/12：2005/10/19(水) 17:26:52
ID:+pSai1p50
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| では今回の課題です。
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,＿＿ 「全ての実数」と対等なコロッケの集合を作れ。
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(| つ ∇ (ﾟДﾟ；) (ﾟДﾟ；)
| | ┌─┐ /⊂ ヽ /⊂ ヽ
〜| | ｜□｜ √￣ (_＿_ﾉ〜 √￣ (_＿_ﾉ〜
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￣￣￣￣! |＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
／￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| 無限個のコロッケをどうやって作るんだよ…
＼＿＿＿_ ∧
／￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| たまにはまともな課題を出してくれ…
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- 340 ：（ ´∀｀）さん ：2005/10/19(水)
17:28:49 ID:999StnDA0
- >314-325
乙だがね･･･ひとつ問題がある。
メンチカツだろうと。
>327-339
乙。あれふってやつですね、決して上九一色と関係は(ry
>335
フライング
- 341 ：335：2005/10/19(水) 17:51:26
ID:BBFekGyE0
- ひええ、ｽﾏｿ。まさか講義中とは思わずリロードせずに書き込んじゃった。>>335
ええ、335は>>314-325へのレスですた。
>>327-339は、大変面白かった。流れも良かったし文句無し。密度も適度で満足っす
2人とも、今後の講義に期待してる。
＼
￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧∧
(ﾟДﾟ,,)
φ つ やはり講義の質がうなぎ上りだﾊﾞﾝｻﾞｰｲ
√￣ (_＿_ﾉ〜
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- 342 ：（ ´∀｀）さん ：2005/10/19(水)
18:44:02 ID:rYtZskc/0
- ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| >>314-325及び
| >>327-339殿
| 講義乙です。
＼
￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧ ∧
(ﾟ−ﾟ,,)
φ ヽ
√￣ (_＿_ﾉ〜
|| ━┳┛
- 343 ：314-：2005/10/19(水) 19:02:52
ID:eh54PFn+0
- >>335
なるほど
改正点に絞りすぎて
説明が薄かったかもしれないでつ
次回、補講してみまふ
>>340
そ、そうでした…
43時限目からの聴講生なんで。。
>>327-339
乙です
勉強になりまふ
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